《三角恒等变换》三角函数PPT课件(第5课时简单的三角恒等变换)
第一部分内容：学 习 目 标
1.能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式．体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点)
2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点、易错点)
核 心 素 养
1.通过公式的推导，培养逻辑推理素养.
2.借助三角恒等变换的简单应用，提升数学运算素养.
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三角恒等变换PPT，第二部分内容：自主预习探新知
半角公式
(1)sinα2＝± 1－cos α2，
(2)cosα2＝± 1＋cos α2，
(3)tanα2＝± 1－cos α1＋cos α，
(4)tanα2＝sin α2cosα2＝sinα2•2cosα2cosα2•2cosα2＝sin α1＋cos α，
tanα2＝sinα2cosα2＝sinα2•2sinα2cosα2•2sinα2＝1－cos αsin α.
初试身手
1．已知180°＜α＜360°，则cosα2的值等于( )
A．－1－cos α2 B.1－cos α2
C．－1＋cos α2 D.1＋cos α2
2．已知cos α＝35，α∈3π2，2π，则sin α2等于( )
A.55 B．－55
C.45 D.255
3．已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－35，cos θ＜0，则tanθ2的值等于________．
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三角恒等变换PPT，第三部分内容：合作探究提素养
化简求值问题
【例1】(1)设5π＜θ＜6π，cosθ2＝a，则sinθ4等于( )
A.1＋a2 B.1－a2
C．－1＋a2 D．－1－a2
(2)已知π<α<3π2，化简：
1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.
[思路点拨] (1)先确定θ4的范围，再由sin2θ4＝1－cosθ22得算式求值．
(2)1＋cos θ＝2cos2α2，1－cos α＝2sin2α2，去根号，确定α2的范围，化简．
规律方法
1.化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
2．利用半角公式求值的思路
(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．
(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tanα2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2α2＝1－cos α2，cos2α2＝1＋cos α2计算．
(4)下结论：结合(2)求值．
提醒：已知cos α的值可求α2的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．
三角恒等式的证明
【例2】求证：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin 2α.
[思路点拨] 法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；
法二：cos2α不变，直接用二倍角正切公式变形．
规律方法
三角恒等式证明的常用方法
1执因索果法：证明的形式一般化繁为简；
2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；
3拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；
4比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；
5分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.
三角函数在实际问题中的应用
[探究问题]
1．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？
提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．
2．建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？
提示：化成y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式．
规律方法
应用三角函数解实际问题的方法及注意事项
1方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.
2注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系.②注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响.
提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误.
课堂小结
1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
2．研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a、b应熟练掌握．例如sin x±cos x＝2sinx±π4；sin x±3cos x＝2sinx±π3等.
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三角恒等变换PPT，第四部分内容：当堂达标固双基
1．思考辨析
(1)cos α2＝1＋cos α2.( )
(2)存在α∈R，使得cos α2＝12cos α.( )
(3)对于任意α∈R，sin α2＝12sin α都不成立．( )
(4)若α是第一象限角，则tan α2＝1－cos α1＋cos α.( )
2．若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是( )
A.π4 B.π2
C.3π4 D．π
3．函数f(x)＝sin2x的最小正周期为________．
4．北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，求cos 2θ.
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