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《三角恒等变换》三角函数PPT课件(第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式)

《三角恒等变换》三角函数PPT课件(第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式) 详细介绍:

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《三角恒等变换》三角函数PPT课件(第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式)

 

第一部分内容:学 习 目 标

1.能利用两角和的正、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点)

2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明.(难点)

3.熟悉二倍角公式的常见变形,并能灵活应用.(易错点)

核 心 素 养

1.通过公式的推导,培养逻辑推理素养.

2.借助运算求值,提升数学运算素养.

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三角恒等变换PPT,第二部分内容:自主预习探新知

新知初探

1.二倍角的正弦、余弦、正切公式

记法 公式

S2α sin 2α=

C2α cos 2α=

T2α tan 2α=___________

2.余弦的二倍角公式的变形

3.正弦的二倍角公式的变形

(1)sin αcos α=12sin 2α,cos α=_________.

(2)1±sin 2α=_________.

初试身手

1.下列各式中,值为32的是(  )

A.2sin 15°cos 15°

B.cos215°-sin215°

C.2sin215° 

D.sin215°+cos215°

2.sin 15°cos 15°=________.

3.12-cos2π8=________.

4.若tan θ=2则tan 2θ=________.

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三角恒等变换PPT,第三部分内容:合作探究提素养

给角求值

【例1】 (1)cosπ7cos3π7cos5π7的值为(  )

A.14   B.-14

C.18  D.-18

(2)求下列各式的值:

①cos415°-sin415°;②1-2sin275°;③1-tan275°tan 75°;

④1sin 10°-3cos 10°.

规律方法

对于给角求值问题,一般有两类:

1直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角.

2若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.

给值求值、求角问题

【例2】(1)已知cosα+π4=35,π2≤α<3π2,求cos2α+π4的值;

(2)已知α∈-π2,π2,且sin 2α=sinα-π4,求α.

[思路点拨]依据以下角的关系设计解题思路求解:

(1)α+π4与2α+π2,α-π4与2α-π2具有2倍关系,用二倍角公式联系;

(2)2α+π2与2α差π2,用诱导公式联系.

规律方法

解决条件求值问题的方法

1有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.

2当遇到fπ4±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式,将条件与结论沟通.

cos 2x=sinπ2-2x=2sinπ4-xcosπ4-x.

化简证明问题

[探究问题]

1.解答化简证明问题时,如果遇到既有“切”,又有“弦”的情况,通常要如何处理?

提示:通常要切化弦后再进行变形.

2.证明三角恒等式时,通常的证明方向是什么?

提示:由复杂一侧向简单一侧推导.

规律方法

证明三角恒等式的原则与步骤

1观察恒等式两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.

2证明恒等式的一般步骤:

①先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异;

②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.

课堂小结

1.对于“二倍角”应该有广义上的理解,如:

8α是4α的二倍;6α是3α的二倍;4α是2α的二倍;3α是32α的二倍;α2是α4的二倍;α3是α6的二倍;α2n=2•α2n+1(n∈N*).

2.二倍角余弦公式的运用

在二倍角公式中,二倍角的余弦公式最为灵活多样,应用广泛.二倍角余弦公式的常用形式:①1+cos 2α=2cos2α,②cos2α=1+cos 2α2,③1-cos 2α=2sin2α,④sin2α=1-cos 2α2.

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三角恒等变换PPT,第三部分内容:当堂达标固双基

1.思考辨析

(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(  )

(2)存在角α,使得sin 2α=2sin α成立.(  )

(3)对于任意的角α,cos 2α=2cos α都不成立.(  )

[提示] (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的,而二倍角的正切公式,要求α≠π2+kπ(k∈Z)且α≠±π4+kπ(k∈Z),故此说法错误.

(2)√.当α=kπ(k∈Z)时,sin 2α=2sin α.

(3)×.当cos α=1-32时,cos 2α=2cos α.

2.已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则(  )

A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3

B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4

C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3

D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4

3.设sin 2α=-sin α,α∈π2,π,则tan 2α的值是________.

4.已知π2<α<π,cos α=-45.

(1)求tan α的值;

(2)求sin 2α+cos 2α的值.

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